Fondamenti della meccanica atomica
che esprime la completezza del sistema di autofunzioni yn (difatti, se si considerasse un sistema qualunque di funzioni ortogonali, sia pure infinito
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La funzione Δy/Δω tende a O, come si vede, per (il che si può interpretare dicendo che le infinite funzioni sinusoidali, che in essa sono sovrapposte
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dove P ed R sono due funzioni di x ed y (che supporremo analitiche): spesso in R figura una parametro (come nella (14)), cioè l'equazione è
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e si deve cercare, se è possibile, di ridurre l'equazione all'eguaglianza di un'espressione contenente sole funzioni di x con una contenente sole
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costante (perchè x ed ydevono poter variare indipendentemente): si hanno così due equazioni a derivate ordinarie per le due funzioni X ed Y. Così il
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(cioè, che il prodotto delle indeterminazioni sia il minimo possibile). Come si è visto al § 13, ciò richiede che le funzioni e siano della forma (70
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per , cioè che le funzioni sono ortogonali tra loro.
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Si noti l'analogia tra le formule (213) e (215), che si possono considerare inverse l'una dell'altra, e nelle quali le funzioni e hanno parti
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Queste funzioni si chiamano «funzioni associate di Legendre» esse sono, naturalmente, ortogonali nell'intervallo (— l, + 1), ma non sono normalizzate
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Essi costituiscono (essendo autofunzioni della (238)) un sistema di funzioni ortogonali nell'intervallo (— 1, + 1): non sono però normalizzati
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Funzioni associate di Legendre. Passiamo ora a considerare la (235) senza la restrizione m= 0: essa si scrive, tenendo conto della (225),
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Tali funzioni sono particolari funzioni sferiche (di superficie) di ordine l. Di queste, quella corrispondente a si riduce a
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Diamo qui, per comodità del lettore, le espressioni esplicite delle funzioni sferiche corrispondenti ai primi 4 valori di l, che più spesso
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L'interesse di queste funzioni sta nel fatto che esse sono soluzioni di una notevole equazione differenziale, come può vedersi nel modo seguente
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che si può esprimere così: le funzioni costituiscono un sistema ortogonale e normalizzato nell'intervallo da 0 a .
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I polinomi generalizzati corrispondenti ad un dato indice superiore j ed a diversi K, se moltiplicati per danno luogo a funzioni ortogonali
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Tenendo poi presente che ognuna delle funzioni , si scinde nel prodotto di tre fattori , si vede che ognuno degli integrali tripli (287) si scinde
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Essendo la T una funzione quadratica delle , i momenti risultano funzioni lineari delle : è anzi possibile risolverle ed esprimere le come funzioni
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dove i coefficienti sono funzioni di . A ciascuno di questi coefficienti possiamo ora applicare lo stesso procedimento, considerandolo funzione della
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più limitata di funzioni, come si dirà nel § seguente.
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Estendiamo ora allo spazio hilbertiano la formula (2): prodotto scalare di due vettori f, g, rappresentanti le funzioni f(x), g(x), o prodotto
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quelle funzioni f, per le quali l'integrale (3) è convergente (funzioni a quadrato sommabile), cioè solo quei punti dello spazio funzionale per i quali la
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Condizione di ortogonalità dei due vettori f, g (o delle funzioni f(x), g(x)) è che sia , cioè, in conseguenza della definizione (4), che sia
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Questa definizione di ortogonalità tra funzioni è già stata introdotta al § 5, p. II: ora si vede la ragione della denominazione. (Si noti che la
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(1) Veramente, due funzioni i cui valori siano uguali dappertutto, tranne in alcuni punti x costituenti un aggregato di misura nulla, hanno
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(1) Talvolta un operatore è definito solo per certe determinate classi di funzioni, mentre per altre non ha senso. P. es., l'operatore ha senso per
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determinate classi di funzioni, mentre per altre non ha senso. P. es., l'operatore ha senso per le sole funzioni derivabili. ), la muti in un'altra
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dove f, g sono due funzioni qualunque (1) Purchè, beninteso, siano tali che abbia senso l'applicazione dell'operatore ad esse. Questa condizione si
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c) Il simbolo è un operatore che muta ogni funzione derivabile f(x) nella sua derivata. Similmente (per le funzioni di più variabili) sono operatori
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Di qui ricaviamo facilmente un'altra proprietà degli operatori hermitiani: per due funzioni qualunque f e g, si ha, se è hermitiano (e solo se è tale):
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In generale, chiameremo autovalori dell'o. l. i numeri An e autofunzioni le funzioni tali che
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grandezza ma non di direzione? Ciò significa ricercare se esistono funzioni f tali che
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Perciò, considerando lo spazio hilbertiano delle funzioni di x e y, diremo che in questo spazio gli assi principali dell'o. l. incompleto non sono
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Dimostriamo dapprima che la condizione è necessaria. Supponiamo perciò che esista un sistema completo di funzioni ortogonali ... che siano ad un
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dove le due funzioni e soddisfano alle
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Donde la regola: «per avere la probabilità , si calcolano le autofunzioni dell'operatore nello spazio delle funzioni della sola x, e si sviluppa la
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dove . Questa espressione è indipendente dalla scelta delle : prendendo come tali le funzioni , dove fa le veci dell'indice j (v. § 14), si ha
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(1) Nel seguito avremo bisogno di applicare questo postulato solo a funzioni della forma , dove solo l'ultima parte richiede simmetrizzazione.
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Questa si potrà sviluppare mediante le funzioni ortogonali ; avremo
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dove i coefficienti in generale saranno funzioni di t. Sostituendo questo sviluppo nella (220') (e indicando, come faremo sempre, col punto la
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dove le k sono costanti, e, per l'hermiticità, deve essere . Siffatti operatori, applicati alla (238), sostituiscono le funzioni con due loro
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(dove le a sono costanti, e F+, G+ sono due funzioni di r, per ora indeterminate) e si sostituiscono nelle (334), basta poi imporre alle costanti a
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esse si riducono alle due seguenti equazioni nelle funzioni F(r), G(r):
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perchè le funzioni sferiche si eliminino dalle equazioni, e queste si riducano a due sole (poichè la prima e la seconda diventano equivalenti, e così
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Le funzioni (347) risultano certamente nulle all'infinito se le serie si riducono a polinomi: detto n' il grado di questi, dovrà essere a tal uopo
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di funzioni le due funzioni (evidentemente non nulle)
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dove e ua sono funzioni delle coordinate, ma non di t, ed E, e Ea sono dati da (378) e (378'). Sostituendo in (382), e ponendo
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Si noti che, poichè s può assumere solo due valori, esistono solo due «funzioni », ossia coppie (): supporremo tali «funzioni» ortogonali e
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(a causa della antisimmetria delle funzioni integrande), la (395) si scrive:
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dove i coefficienti A, B, C sono funzioni analitiche della x, che supporremo reali per x reale. Poichè A è da supporsi non identicamente nulla, si
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Accademia della crusca
